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I Notion de vecteur

   1. Translation de vecteur

Soient A et B deux points du plan.
La translation qui transforme A en B associe à tout point C du plan l'unique point D tel que les segments [BC] et [AD] ont le même milieu.
Le quadrilatère ABDC est un parallélogramme.
La translation qui transforme A en B est appelée translation de vecteur .
A est l'origine du vecteur, B est l'extrémité du vecteur.



  2. Caractéristiques d'un vecteur

Le vecteur est caractérisé par :

  • sa direction : celle de la droite (AB);
  • son sens celui de A vers B;
  • sa longueur : la distance AB, elle est aussi appelée norme.

      3. Vecteurs égaux

    Deux vecteurs et , avec A ≠ B et C ≠ D, sont égaux signifie que et ont la même direction, le même sens et que les distances AB et CD sont égales.
    = équivaut à dire que les segments [BC] et [AD] ont le même milieu.
    = équivaut à dire équivaut à dire que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.

      4. Représentant d’un vecteur

    Soit une translation de vecteur .
    Soit un point C qui a pour image D par la translation de vecteur .
    Soit un point E qui a pour image F par la translation de vecteur .
    On a = = . On dit que , et sont des représentants d'un même vecteur que l'on note .
    est un représentant du vecteur .

      5. Vecteurs particuliers

  • Soit un vecteur . Si A et B sont confondus, on obtient le vecteur . Ce vecteur est noté .
    On l'appelle le vecteur nul.

  • L'opposé d'un vecteur est noté - . Si = alors = -.

    II Somme de deux vecteurs

      1. Définition

    Soit une translation de vecteur et une translation de vecteur . La translation résultant de l'enchaînement des deux translations est la translation de vecteur + .
    + est appelé vecteur somme.

      2. Construction de la somme de deux vecteurs

      a. Relation de Chasles



      b. Règle du parallélogramme



      c. Propriétés de la somme de vecteurs

    Quels que soient les vecteurs , et on a :

  • + = +
  • + = + =
  • + (-) = (-) + =
  • + ( + ) = ( + ) +

    III Multiplication d’un vecteur par un réel

      1. Produit d’un vecteur par un réel<:b>

    Soit un vecteur non nul et k un réel non nul.

    Le produit de k par est le vecteur k tel que :
  • et k ont la même direction
  • si k > 0 , et k ont le même sens si k < 0 , et k sont de sens contraire
  • ||k|| = |k| x ||||

      2. Propriétés de la multiplication d’un vecteur par un réel

    Soient et et deux vecteurs, k et k’ deux réels.

  • k( + ) = k + k
  • ( k + k’) = k + k’
  • k(k’) = kk’
  • k = équivaut à k = 0 ou =

      3. Milieu d’un segment

    Soit I le milieu d’un segment [AB].


    IV Colinéarité de deux vecteurs

      1. Vecteurs colinéaires

    Dire que deux vecteurs = et = sont colinéaires signifie que et ont la même direction. Les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

    Théorème :

    Dire que deux vecteurs et non nuls sont colinéaires signifie qu’il existe un nombre réel k tel que = k

      2. Parallélisme et alignement

    Théorèmes :

    Dire que les droites (AB) et (CD) sont parallèles équivaut à dire qu’il existe un nombre réel k tel que = k.

    Dire que les points A, B et C sont alignés équivaut à dire qu’il existe un nombre réel k tel que = k.

    V Repérage dans le plan

      1. Repère du plan

    Choisir un repère dans le plan c'est placer dans le plan 3 points distincts O, I et J non alignés.
    O est l'origine du repère. Le repère est noté (O , I , J).


    L'axe des abscisses est la droite (OI) graduée dans le sens de O vers I.
    L'axe des ordonnées est la droite (OJ) graduée dans le sens de O vers J.

      2. Les différents repères du plan



      3. Coordonnées d'un vecteur

        a. Coordonnées d'un vecteur

    Soit (O , I , J) un repère et un vecteur donné. La translation de vecteur associe le point M unique tel que =.

    Soit (x ; y) les coordonnées de M, les coordonnées de sont (x ; y) .

    Propriétés :

    Soient (x ; y) et(x' ; y') deux vecteurs.


        b. Coordonnées du milieu d'un segment [AB]





        c. Coordonnées du vecteur

    Soit un vecteur. Soit C le point tel =

    VI Colinéarité et distance

      1. Colinéarité

    Les vecteurs(x ; y) et(x' ; y') sont colinéaires si et seulement si xy' – x'y = 0.



      2. Distance dans la plan