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I Proposition vraie ou fausse Une proposition est une phrase avec une affirmation qui peut être vraie ou fausse. Exemples : "2 est un chiffre pair" est une proposition vraie. "5 est un multiple de 2" est une proposition fausse. Remarque : Une proposition ne peut jamais être à la fois vraie et fausse. II Négation d'une proposition La négation d'une proposition P est la proposition obtenue en affirmant son contraire. Exemples : "x ≥ 1" a pour négation "x < 1". "Le triangle ABC est isocèle" a pour négation "Le triangle ABC n'est pas isocèle". III Connecteurs logiques ET, OU     1. Le connecteur "ET" Soient P et Q deux propositions. La proposition notée P et Q est la proposition qui est vraie uniquement quand les propositions P et Q sont vraies simultanément. Exemples : "Le triangle ABC est rectangle et isocèle". "6 est divisible par 2 et par 3". "x ≥ - 1" et "x ≤ 1" signifie que x appartient à [- 1 ; 1] .     2. Le connecteur "OU" Soient P et Q deux propositions. La proposition notée P ou Q est la proposition qui est vraie quand la propositions P est vraie ou quand la proposition Q est vraie. Exemple : "Le triangle ABC est rectangle ou isocèle" signifie que le triangle peut être rectangle ou isocèle ou rectangle-isocèle.     3. Négation de (P et Q) et de (P ou Q) Soient P et Q deux propositions. La proposition notée P ou Q est la proposition qui est vraie quand la propositions P est vraie ou quand la proposition Q est vraie. Négation de (P et Q) = (négation de P) ou (négation de Q). Négation de (P ou Q) = (négation de P) et (négation de Q). Exemple : La négation de "x < 3 et x > 1" est "x ≥ 3 ou x ≤ 1". IV Implication et équivalence     1. Implication La proposition "Si P alors Q" est appelée implication. Pour établir que "Si P alors Q" est vraie, on suppose que P est vraie et on démontre qu'alors Q est vraie. Exemple : Si x = 2 alors x2 = 4.     2. Implication réciproque d'une implication La réciproque de "Si P alors Q" est "Si Q alors P". Lorsque "Si P alors Q" est vraie alors sa réciproque peut-être vraie ou fausse. Exemples : Si ABC est un triangle rectangle en A alors BC2 = AB2 + AC2 . La réciproque est : si dans un triangle ABC, BC2 = AB2 + AC2 alors ce triangle est rectangle en A. La réciproque est vraie. Si x = 2 alors x2 = 4 . La réciproque est si x2 = 4 alors x = 2. La réciproque est fausse car on peut avoir aussi x = – 2.     3. Contraposée d'une implication La contraposée de "Si P alors Q" est "Si (Non Q) alors (Non Q)". Exemple : Exemple :  La contraposée du théorème de Pythagore Théorème : Si ABC est un triangle rectangle en A alors BC2 = AB2 + AC2 . Contraposée : Si dans un triangle ABC on a BC2 = AB2 + AC2 ≠ 0 alors le triangle ABC n'est pas rectangle en A.     4. Equivalence La proposition "P si et seulement Q" (ou "P équivalent à Q") est la proposition "Si P alors Q" et "Si Q alors P". Exemple : "Le triangle est isocèle" équivaut à "Le triangle possède deux angles égaux" . x = 2 ou x = - 2 équivaut à x2 = 4.     5. Condition nécessaire et suffisante Quand l'implication "P implique Q" est vraie P est une condition suffisante pour Q Il suffit que P soit vraie pour que Q soit vraie Q est une condition nécessaire pour P Il faut que Q soit vraie pour que P soit vraie Exemple : Si le quadrilatère ABCD est un losange alors le quadrilatère ABCD est un parallélogramme. Il suffit que le quadrilatère ABCD soit un losange pour que ABCD soit un parallélogramme. Il faut que le quadrilatère ABCD soit un parallélogramme pour que ABCD puisse être un losange. V Les quantificateurs     1. "Quel que soit", "pour tout" Dans la proposition P : "Quel que soit le nombre x alors ", quel que soit est appelé quantificateur universel. On peut aussi dire pour tout x, on a . On écrira : , .     2. "Il existe" Soit la proposition P : "il existe au moins un réel dont le carré est égal à 4". Cette proposition est vraie pour x = – 2 et pour x = 2. Il existe au moins un réel. On écrira / . VI D'autres types de raisonnements     1. Raisonnement par disjonction de cas Exemple : Démontrons que pour tout entier naturel n, n2 + 5n est pair. Supposons que n est impair. Supposons que n est pair.     2. Raisonnement par l'absurde Exemples : A et B sont deux points du plan et C est un point du plan n'appartenant pas à la médiatrice de [AB]. Démontrons que le triangle ABC n'est pas isocèle en C. On suppose que le triangle ABC est isocèle en C donc que CA = CB. C est équidistant de A et de B donc C appartient à la médiatrice de [AB], ce qui est contraire avec l'énoncé. La proposition "Le triangle ABC est isocèle en C" est fausse donc le triangle ABC n'est pas isocèle en C.